初等函數(shù)是由冪函數(shù)（power?function）、指數(shù)函數(shù)（exponential?function）、對(duì)數(shù)函數(shù)（logarithmic?function）、三角函數(shù)（trigonometric?function）、反三角函數(shù)（inverse?trigonometric?function）與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算（加、減、乘、除、有理數(shù)次乘方、有理數(shù)次開方）及有限次函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生，并且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)。

函數(shù)概念

初等函數(shù)

初等函數(shù)是由冪函數(shù)（power?function）、指數(shù)函數(shù)（exponential?function）、對(duì)數(shù)函數(shù)（logarithmic?function）、三角函數(shù)（trigonometric?function）、反三角函數(shù)（inverse?trigonometric?function）與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算（加、減、乘、除、有理數(shù)次乘方、有理數(shù)次開方）及有限次函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生，并且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)。

它是最常用的一類函數(shù)，包括常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)（以上是基本初等函數(shù)），以及由這些函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或函數(shù)的復(fù)合而得的所有函數(shù)。即基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算或有限次的函數(shù)復(fù)合所構(gòu)成并可以用一個(gè)解析式表出的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

還有一系列雙曲函數(shù)也是初等函數(shù)，如sinh的名稱是雙曲正弦或超正弦，cosh是雙曲余弦或超余弦，tanh是雙曲正切，coth是雙曲余切，sech是雙曲正割，csch是雙曲余割。初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)一定連續(xù)。

一個(gè)初等函數(shù)，除了可以用初等解析式表示以外，往往還有其他表示形式。例如?，三角函數(shù)?y=sinx?可以用無窮級(jí)數(shù)表為y=x-x3/3!+x5/5!-…初等函數(shù)是最先被研究的一類函數(shù)，它與人類的生產(chǎn)和生活密切相關(guān)，并且應(yīng)用廣泛。為了方便，人們編制了各種函數(shù)表，如平方表、開方表、對(duì)數(shù)表、三角函數(shù)表等。

有理函數(shù)

實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式稱為整有理函數(shù)。其中最簡(jiǎn)單的是線性函數(shù)?y=α0+α1x，它的圖象是過y軸上y=α0點(diǎn)的斜率為α1的直線。二次整有理函數(shù)y=α0+α1x+α2×2的圖象為拋物線。

兩個(gè)整有理函數(shù)之比為分式有理函數(shù)。分式有理函數(shù)其中最簡(jiǎn)單的是反比例函數(shù)，其圖象為雙曲線。整有理函數(shù)和分式有理函數(shù)統(tǒng)稱有理函數(shù)。有理函數(shù)起源于代數(shù)學(xué)。

兩個(gè)復(fù)系數(shù)的多項(xiàng)式之比為有理函數(shù)，它實(shí)現(xiàn)擴(kuò)充的復(fù)平面到自身的解析映射。分式線性函數(shù)是一個(gè)特殊的有理函數(shù)，它在復(fù)分析中有重要的意義。另一個(gè)特殊情形是冪函數(shù)w=zn，n?是自然數(shù)，它在全平面是解析的。因此當(dāng)n≥2時(shí)，它在全平面除z=0以外到處實(shí)現(xiàn)共形映射（保角映射）。它將圓周|z|=?r變?yōu)閳A周|w|=rn，將射線argz=θ變?yōu)樯渚€argw=nθ。任何一個(gè)區(qū)域,只要該區(qū)域中任兩點(diǎn)的輻角差小于2π，它就是w=zn的單葉性區(qū)域。冪函數(shù)w=zn的反函數(shù)為根式函數(shù)，它有n個(gè)值 - k=0，1，…，n-1，稱為它的分支。它們?cè)谌魏螀^(qū)域θ1z<θ1+2π中都單值解析。

代數(shù)函數(shù)

求有理函數(shù)的反函數(shù)則可產(chǎn)生代數(shù)函數(shù)。如y=xn的反函數(shù)為x=yn。

超越函數(shù)

超越函數(shù)指變量之間的關(guān)系不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算表示的函數(shù)。如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)等就屬于超越函數(shù)。

常用函數(shù)

常函數(shù)

對(duì)定義域中的一切x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都取某個(gè)固定常數(shù)的函數(shù)。

三角函數(shù)

三角函數(shù)是起源于幾何學(xué)的最簡(jiǎn)單的超越函數(shù)。

初等三角函數(shù)包括正弦函數(shù)y=sinx?、余弦函數(shù)y=cosx?、正切函數(shù)y=tanx、余切函數(shù)y=cotx?、正割函數(shù)y=secx和余割函數(shù)y=cscx。高等分析學(xué)中用弧度制計(jì)量角度，即以單位圓周上的弧段量度相應(yīng)的圓心角。

指數(shù)函數(shù)

形如?的函數(shù)，式中a為不等于1的正常數(shù)。

對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，記作?，式中a為不等于1的正常數(shù)，定義域是零到正無窮的開區(qū)間。指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間成立關(guān)系式，?。

反三角函數(shù)

三角函數(shù)的反函數(shù)?——反正弦函數(shù)y?=?arcsinx?、反余弦函數(shù)?y=arccosx?（－1≤x≤1，0≤y≤π）、反正切函數(shù)y=arctanx?、反余切函數(shù)?等?，?以上這些函數(shù)常統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。

雙曲函數(shù)

由指數(shù)函數(shù)經(jīng)有理運(yùn)算可導(dǎo)出雙曲函數(shù)。其性質(zhì)與三角函數(shù)很相似。sinhx、coshx分別稱為雙曲正弦和雙曲余弦。像三角函數(shù)一樣，由它們導(dǎo)出的雙曲正切tanhx=sinhx/coshx和雙曲余切cothx=coshx/sinhx等都稱為雙曲函數(shù)。

雙曲正弦或超正弦

雙曲余弦或超余弦

雙曲正切

雙曲余切

雙曲正割

雙曲余割

它們有如下的幾何解釋，即雙曲線x2-y2=1 - x>0上取一點(diǎn)M，又令O為原點(diǎn)，N= - 1,0，將ON，OM和雙曲線上的弧所圍面積記為θ/2，點(diǎn)M的坐標(biāo)視為θ的函數(shù)，并記為coshθ和sinhθ，即有表示式cosh2θ-sinh2θ=1。

冪函數(shù)

形如?的函數(shù)，式中a為實(shí)常數(shù)。

一般地，形如?（a為常數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。例如函數(shù)y=x、y=x2、y=1/x（注：y=1/x=x-1）等都是冪函數(shù)。

數(shù)域推廣

復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)

例如將y=sinx和y=cosx中變量x換為復(fù)變量z，則得到復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)w=sinz和w=cosz，它們是整函數(shù)。tanz=sinz/cosz，cotz=cosz/sinz等是z的亞純函數(shù)。它們具有實(shí)三角函數(shù)的很多類似性質(zhì)：周期性、微商性質(zhì)、三角恒等式等。但|sinz|≤1，|cosz|≤1不是對(duì)任何z都成立。三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)密切聯(lián)系，因此應(yīng)用時(shí)很方便。sinz的單葉性區(qū)域?qū)k單葉并共形地映為全平面上除去實(shí)軸上線段[-1，1]和負(fù)虛軸后得到的區(qū)域；它將Rk單葉并共形地映為全平面除去實(shí)軸上兩條射線 - ?,-1]和[1,?后得到的區(qū)域。類似地可以指出cosz的單葉性區(qū)域。

復(fù)變指數(shù)函數(shù)

在指數(shù)函數(shù)式w=ex中將x換為復(fù)變量z，便得到復(fù)變指數(shù)函數(shù)w=ez。復(fù)變指數(shù)函數(shù)有類似于實(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：ez是一整函數(shù)且對(duì)任何復(fù)數(shù)z，ez≠0；它滿足ez1·ez2=ez1+z2；ez以2kπi為周期，ez=ez+2kπi；并且它的導(dǎo)數(shù)與本身相同，即? - ez'=ez。函數(shù)w=ez在全平面實(shí)現(xiàn)共形映射。任何一個(gè)區(qū)域，只要對(duì)區(qū)域內(nèi)任兩點(diǎn)，其虛部之差小于2π，它就是ez的單葉性區(qū)域。例如，指數(shù)函數(shù)把直線x=x0變?yōu)閳A周，把直線y=y0變?yōu)樯渚€argw=y0，因而把區(qū)域Sk變?yōu)閰^(qū)域0w<2π，把寬度為β的帶形區(qū)域α0<α0+β - β≤2π變?yōu)殚_度為β的角形域α0w<α0+β。

復(fù)變對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)w=lnz是指數(shù)函數(shù)w=ez的反函數(shù)，它有無窮多個(gè)值2kπ（k?為整數(shù)），稱為它的分支。每一個(gè)分支在區(qū)域θ0z<θ0+?2π?中是解析的。對(duì)數(shù)函數(shù)把這個(gè)區(qū)域單葉地變?yōu)閹螀^(qū)域θ0w<θ0+2π，也把開度為β的角形域θ0z<θ0+β - β≤2π變?yōu)閷挾葹棣碌膸螀^(qū)域θ0w<θ0+β。?像實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，它滿足lnz1+lnz2=ln - z1·z2。

復(fù)變反三角函數(shù)

w=arcsinz，w=arccosz，w=arctanz分別是sinz，cosz和tanz的反函數(shù)，并稱復(fù)變反三角函數(shù)。它們能由對(duì)數(shù)函數(shù)合成。它們都是多值函數(shù)。

復(fù)變雙曲函數(shù)

將實(shí)雙曲函數(shù)推廣到復(fù)數(shù)域得復(fù)變雙曲函數(shù)。像實(shí)雙曲函數(shù)一樣，復(fù)變雙曲函數(shù)能由復(fù)變指數(shù)函數(shù)合成。

復(fù)變冪函數(shù)

將實(shí)冪函數(shù)的實(shí)變量用復(fù)數(shù)替換即得復(fù)變冪函數(shù)。一般來說，它是多值函數(shù)。

導(dǎo)數(shù)函數(shù)

一般初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是初等函數(shù)，但初等函數(shù)的不定積分不一定是初等函數(shù)。另外初等函數(shù)的反函數(shù)不一定是初等函數(shù)。