有效數(shù)字：具體地說，是指在分析工作中實(shí)際能夠測(cè)量到的數(shù)字。能夠測(cè)量到的是包括最后一位估計(jì)的，不確定的數(shù)字。我們把通過直讀獲得的準(zhǔn)確數(shù)字叫做可靠數(shù)字；把通過估讀得到的那部分?jǐn)?shù)字叫做存疑數(shù)字。把測(cè)量結(jié)果中能夠反映被測(cè)量大小的帶有一位存疑數(shù)字的全部數(shù)字叫有效數(shù)字。如上例中測(cè)得物體的長(zhǎng)度5.15cm。數(shù)據(jù)記錄時(shí)，我們記錄的數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果真值一致的數(shù)據(jù)位便是有效數(shù)字。

定義

有效數(shù)字：具體地說，是指在分析工作中實(shí)際能夠測(cè)量到的數(shù)字。所謂能夠測(cè)量到的是包括最后一位估計(jì)的，不確定的數(shù)字。有效數(shù)字指科學(xué)計(jì)算中用以表示一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)精度的那些數(shù)字。一般地，指一個(gè)用小數(shù)形式表示的浮點(diǎn)數(shù)中，從第一個(gè)非零的數(shù)字算起的所有數(shù)字。如1.24和0.00124的有效數(shù)字都有3位。

我們把通過直讀獲得的準(zhǔn)確數(shù)字叫做可靠數(shù)字;把通過估讀得到的那部分?jǐn)?shù)字叫做存疑數(shù)字.把測(cè)量結(jié)果中能夠反映被測(cè)量大小的帶有一位存疑數(shù)字的全部數(shù)字叫有效數(shù)字.如上例中測(cè)得物體的長(zhǎng)度4.15cm.數(shù)據(jù)記錄時(shí)，我們記錄的數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的表述中的數(shù)據(jù)便是有效數(shù)字。

產(chǎn)生

在統(tǒng)計(jì)中，18和18.00的意義卻有不同。18指的是在17.5～18.5（不包括18.5本身）之間值，而18.00則是在17.995～18.005（不包括18.005本身）之間的值。這樣就產(chǎn)生了統(tǒng)計(jì)中的有效數(shù)字問題。對(duì)于18和18.00來說，因18有兩位，其有效數(shù)字為2，而18.00，有四位有效數(shù)字。

概念

測(cè)量結(jié)果都是包含誤差的近似數(shù)據(jù)，在其記錄、計(jì)算時(shí)應(yīng)以測(cè)量可能達(dá)到的精度為依據(jù)來確定數(shù)據(jù)的位數(shù)和取位。如果參加計(jì)算的數(shù)據(jù)的位數(shù)取少了，就會(huì)損害外業(yè)成果的精度并影響計(jì)算結(jié)果的應(yīng)有精度；如果位數(shù)取多了，易使人誤認(rèn)為測(cè)量精度很高，且增加了不必要的計(jì)算工作量。

一般而言，對(duì)一個(gè)數(shù)據(jù)取其可靠位數(shù)的全部數(shù)字加上第一位可疑數(shù)字，就稱為這個(gè)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字。

一個(gè)近似數(shù)據(jù)的有效位數(shù)是該數(shù)中有效數(shù)字的個(gè)數(shù)，指從該數(shù)左方第一個(gè)非零數(shù)字算起到最末一個(gè)數(shù)字（包括零）的個(gè)數(shù)，它不取決于小數(shù)點(diǎn)的位置。

正確表示

1、有效數(shù)字中只應(yīng)保留一位欠準(zhǔn)數(shù)字，因此在記錄測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，只有最后一位有效數(shù)字是欠準(zhǔn)數(shù)字。2、在欠準(zhǔn)數(shù)字中，要特別注意0的情況。0在數(shù)字之間與末尾時(shí)均為有效數(shù)字。如0.078和0.78與小數(shù)點(diǎn)無關(guān),均為兩位。506與220均為三位。3、л等常數(shù)，具有無限位數(shù)的有效數(shù)字，在運(yùn)算時(shí)可根據(jù)需要取適當(dāng)?shù)奈粩?shù)。?

具體說明

- 1實(shí)驗(yàn)中的數(shù)字與數(shù)學(xué)上的數(shù)字是不一樣的.如數(shù)學(xué)的8.35=8.350=8.3500，而實(shí)驗(yàn)的8.35≠8.350≠8.3500.

- 2有效數(shù)字的位數(shù)與被測(cè)量的大小和儀器的精密度有關(guān).如前例中測(cè)得物體的長(zhǎng)度為7.45cm，若用千分尺來測(cè)，其有效數(shù)字的位數(shù)有五位.

- 3第一個(gè)非零數(shù)字前的零不是有效數(shù)字。

- 4第一個(gè)非零數(shù)字開始的所有數(shù)字 - 包括零都是有效數(shù)字。

- 5單位的變換不能改變有效數(shù)字的位數(shù).因此，實(shí)驗(yàn)中要求盡量使用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示數(shù)據(jù).如100.2m可記為0.1002km.但若用cm和mm作單位時(shí)，數(shù)學(xué)上可記為10020cm和100200mm，但卻改變了有效數(shù)字的位數(shù).采用科學(xué)計(jì)數(shù)法就不會(huì)產(chǎn)生這個(gè)問題了。

與不確定度的關(guān)系

有效數(shù)字的末位是估讀數(shù)字，存在不確定性.一般情況下不確定度的有效數(shù)字只取一位，其數(shù)位即是測(cè)量結(jié)果的存疑數(shù)字的位置;有時(shí)不確定度需要取兩位數(shù)字，其最后一個(gè)數(shù)位才與測(cè)量結(jié)果的存疑數(shù)字的位置對(duì)應(yīng)。

由于有效數(shù)字的最后一位是不確定度所在的位置，因此有效數(shù)字在一定程度上反映了測(cè)量值的不確定度 - 或誤差限值.測(cè)量值的有效數(shù)字位數(shù)越多，測(cè)量的相對(duì)不確定度越小;有效數(shù)字位數(shù)越少，相對(duì)不確定度就越大。可見，有效數(shù)字可以粗略反映測(cè)量結(jié)果的不確定度。

舍入規(guī)則

1、當(dāng)保留n位有效數(shù)字，若后面的數(shù)字小于第n位單位數(shù)字的0.5就舍掉。

2、當(dāng)保留n位有效數(shù)字，若后面的數(shù)字大于第n位單位數(shù)字的0.5，則第位數(shù)字進(jìn)1。

3、當(dāng)保留n位有效數(shù)字，若后面的數(shù)字恰為第n位單位數(shù)字的0.5，則第n位數(shù)字若為偶數(shù)時(shí)就舍掉后面的數(shù)字，若第n位數(shù)字為奇數(shù)加1。

如將下組數(shù)據(jù)保留三位

45.77=45.8??????????????????????????????43.03=43.0

38.25=38.2??????????????????????????????47.15=47.2

有效數(shù)字：是指從該數(shù)字左邊第一個(gè)非0的數(shù)字到該數(shù)字末尾的數(shù)字個(gè)數(shù)。?

運(yùn)算規(guī)則

一般來講，有效數(shù)字的運(yùn)算過程中，有很多規(guī)則.為了應(yīng)用方便，我們本著實(shí)用的原則，加以選擇后，將其歸納整理為如下兩類.

一般規(guī)則

- 1可靠數(shù)字之間運(yùn)算的結(jié)果為可靠數(shù)字。

- 2可靠數(shù)字與存疑數(shù)字，存疑數(shù)字與存疑數(shù)字之間運(yùn)算的結(jié)果為存疑數(shù)字。

- 3測(cè)量數(shù)據(jù)一般只保留一位存疑數(shù)字。

- 4運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)不由數(shù)學(xué)或物理常數(shù)來確定，數(shù)學(xué)與物理常數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)可任意選取，一般選取的位數(shù)應(yīng)比測(cè)量數(shù)據(jù)中位數(shù)最少者多取一位.例如:可取=3.14或3.142或3.1416……;在公式中計(jì)算結(jié)果不能由于"2"的存在而只取一位存疑數(shù)字，而要根據(jù)m和v來決定。

- 5運(yùn)算結(jié)果將多余的存疑數(shù)字舍去時(shí)應(yīng)按照"四舍六入五湊偶"的法則進(jìn)行處理.即小于等于四則舍;大于六則入;等于五時(shí)，根據(jù)其前一位按奇入偶舍處理 - 等幾率原則.例如，3.625化為3.62，4.235則化為4.24。

具體規(guī)則

? - 1有效數(shù)字相加 - 減的結(jié)果的末位數(shù)字所在的位置應(yīng)按各量中存疑數(shù)字所在數(shù)位最前的一個(gè)為準(zhǔn)來決定.例如30.426.65+4.325-3.90534.72522.745取30.4+4.325=34.7，26.65-3.905=22.74。

- 2乘 - 除運(yùn)算后的有效數(shù)字的位數(shù)與參與運(yùn)算的數(shù)字中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同。

由此規(guī)則 - 2可推知:乘方，開方后的有效數(shù)字位數(shù)與被乘方和被開方之?dāng)?shù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同。

- 3指數(shù)，對(duì)數(shù)，三角函數(shù)運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)由其改變量對(duì)應(yīng)的數(shù)位決定.例如:中存疑數(shù)字為0.08，那么=我們將的末位數(shù)改變1后比較，找出發(fā)生改變的位置就能得知。

- 4有效數(shù)字位數(shù)要與不確定度位數(shù)綜合考慮。

一般情況下，表示最后結(jié)果的不確定度的數(shù)值只保留1位，而最后結(jié)果的有效數(shù)字的最后一位與不確定度所在的位置對(duì)齊.如果實(shí)驗(yàn)測(cè)量中讀取的數(shù)字沒有存疑數(shù)字，不確定度通常需要保留兩位。

但要注意:具體規(guī)則有一定適用范圍，在通常情況下，由于近似的原因，如不嚴(yán)格要求可認(rèn)為是正確的。

判斷法則

①?所有非零數(shù)字都是有效數(shù)字

②?介于非零數(shù)字之間的0是有效數(shù)字

③?有小數(shù)部分的數(shù)，其非零數(shù)之后的數(shù)都是有效數(shù)字

④?用小數(shù)表示的數(shù)的左邊出現(xiàn)的0不是有效數(shù)字

⑤?整數(shù)后的0，可能是也可能不是有效數(shù)字

準(zhǔn)確測(cè)量

有效數(shù)字為了取得準(zhǔn)確的分析結(jié)果，不僅要準(zhǔn)確測(cè)量，而且還要正確記錄與計(jì)算。所謂正確記錄是指記錄數(shù)字的位數(shù)。因?yàn)閿?shù)字的位數(shù)不僅表示數(shù)字的大小，也反映測(cè)量的準(zhǔn)確程度。所謂有效數(shù)字，就是實(shí)際能測(cè)得的數(shù)字?！　∮行?shù)字保留的位數(shù)，應(yīng)根據(jù)分析方法與儀器的準(zhǔn)確度來決定，一般使測(cè)得的數(shù)值中只有最后一位是可疑的。例如在分析天平上稱取試樣0.5000g，這不僅表明試樣的質(zhì)量0.5000g，還表明稱量的誤差在±0.0002g以內(nèi)。如將其質(zhì)量記錄成0.50g，則表明該試樣是在臺(tái)稱上稱量的，其稱量誤差為0.02g，故記錄數(shù)據(jù)的位數(shù)不能任意增加或減少。如在上例中，在分析天平上，測(cè)得稱量瓶的重量為10.4320g，這個(gè)記錄說明有6位有效數(shù)字，最后一位是可疑的。因?yàn)榉治鎏炱街荒芊Q準(zhǔn)到0.0002g，即稱量瓶的實(shí)際重量應(yīng)為10.4320±0.0002g，無論計(jì)量?jī)x器如何精密，其最后一位數(shù)總是估計(jì)出來的。因此所謂有效數(shù)字就是保留末一位不準(zhǔn)確數(shù)字，其余數(shù)字均為準(zhǔn)確數(shù)字。同時(shí)從上面的例子也可以看出有效數(shù)字是和儀器的準(zhǔn)確程度有關(guān)，即有效數(shù)字不僅表明數(shù)量的大小而且也反映測(cè)量的準(zhǔn)確度。

數(shù)字修約規(guī)則

處理。　

對(duì)于滴定管、移液管和吸量管，它們都能準(zhǔn)確測(cè)量溶液體積到0.01mL。所以當(dāng)用50mL滴定管測(cè)定溶液體積時(shí)，如測(cè)量體積大于10mL小于50mL時(shí)，應(yīng)記錄為4位有效數(shù)字。例如寫成24.22；如測(cè)定體積小于10mL，應(yīng)記錄3位有效數(shù)字，例如寫成8.13?mL。當(dāng)用25mL移液管移取溶液時(shí)，應(yīng)記錄為25.00mL；當(dāng)用5mL吸取關(guān)系取溶液時(shí)，應(yīng)記錄為5.00mL。當(dāng)用250mL容量瓶配制溶液時(shí)，所配溶液體積應(yīng)即為250.0mL。當(dāng)用50mL容量瓶配制溶液時(shí)，應(yīng)記錄為50.00mL?！　】偠灾?，測(cè)量結(jié)果所記錄的數(shù)字，應(yīng)與所用儀器測(cè)量的準(zhǔn)確度相適應(yīng)。數(shù)字修約規(guī)則　　我國科學(xué)技術(shù)委員會(huì)正式頒布的《數(shù)字修約規(guī)則》，通常稱為“四舍六入五成雙”法則。四舍六入五考慮，即當(dāng)尾數(shù)≤4時(shí)舍去，尾數(shù)為6時(shí)進(jìn)位。當(dāng)尾數(shù)4舍為5時(shí)，則應(yīng)是末位數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，5前為偶數(shù)應(yīng)將5舍去，5前為奇數(shù)應(yīng)將5進(jìn)位?！　∵@一法則的具體運(yùn)用如下：　　a.?將28.175和28.165處理成4位有效數(shù)字，則分別為28.18和28.16。b.?若被舍棄的第一位數(shù)字大于5，則其前一位數(shù)字加1，例如28.2645處理成3為有效數(shù)字時(shí)，其被舍去的第一位數(shù)字為6，大于5，則有效數(shù)字應(yīng)為28.3。c.?若被舍其的第一位數(shù)字等于5，而其后數(shù)字全部為零時(shí)，則是被保留末位數(shù)字為奇數(shù)或偶數(shù)（零視為偶），而定進(jìn)或舍，末位數(shù)是奇數(shù)時(shí)進(jìn)1，末位數(shù)為偶數(shù)時(shí)不進(jìn)

1，例如28.350、28.250、28.050處理成3位有效數(shù)字時(shí)，分別為28.4、28.2、28.0。　　d.?若被舍棄的第一位數(shù)字為5，而其后的數(shù)字并非全部為零時(shí)，則進(jìn)1，例如28.2501，只取3位有效數(shù)字時(shí)，成為28.3?！　.?若被舍棄的數(shù)字包括幾位數(shù)字時(shí)，不得對(duì)該數(shù)字進(jìn)行連續(xù)修約，而應(yīng)根據(jù)以上各條作一次處理。如2.154546?，只取3位有效數(shù)字時(shí)，應(yīng)為2.15，二不得按下法連續(xù)修約為2.16：　　2.154546→2.15455→2.1546→2.155→2.16

運(yùn)算規(guī)則

前面曾根據(jù)儀器的準(zhǔn)確度介紹了有效數(shù)字的意義和記錄原則，在分析計(jì)算中，有效數(shù)字的保留更為重要，下面僅就加減法和乘除法的運(yùn)算規(guī)則加以討論?！　.?加減法：在加減法運(yùn)算中，保留有效數(shù)字的以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最小的為準(zhǔn)，即以絕對(duì)誤差最大的為準(zhǔn)，例如：　　0.0121+25.64+1.05782=?　　正確計(jì)算不正確計(jì)算　　0.01?0.0121　　25.64?25.64+?1.06?+?1.0578226.71?26.70992　　上例相加3個(gè)數(shù)字中，25.64中的“4”已是可疑數(shù)字，因此最后結(jié)果有效數(shù)字的保留應(yīng)以此數(shù)為準(zhǔn)，即保留有效數(shù)字的位數(shù)到小數(shù)點(diǎn)后面第二位。　　b.?乘除法：乘除運(yùn)算中，保留有效數(shù)字的位數(shù)以位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)，即以相對(duì)位數(shù)最大的為準(zhǔn)。例如：　　0.012×25.64×1.05782=?　　以上3個(gè)數(shù)的乘積應(yīng)為：　　0.0121×25.6×1.01=0.328　　在這個(gè)計(jì)算中3個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差分別為：　　E%= - ±0.0001/0.0121×100=±8　　E%= - ±0.01/25.64×100=±0.04　　E%=（±0.00001）/1.05782×100=±0.0009　　顯然第一個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差最大（有效數(shù)字為3位），應(yīng)以它為準(zhǔn)，將其他數(shù)字根據(jù)有效數(shù)字修約原則，保留3位有效數(shù)字，然后相乘即可?！　.?自然數(shù)，在分析化學(xué)中，有時(shí)會(huì)遇到一些倍數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，如：　　H3PO4的相對(duì)分子量/3=98.00/3=32.67　　水的相對(duì)分子量=2×1.008+16.00=18.02　　在這里分母“3”和“2×1.008”中的“2”都還能看作是一位有效數(shù)字。因?yàn)樗鼈兪欠菧y(cè)量所得到的數(shù)，是自然數(shù)，其有效數(shù)字位數(shù)可視為無限的?！　≡诔Ｒ姷某Ａ糠治鲋?，一般是保留四位有效數(shù)字。但在水質(zhì)分析中，有時(shí)只要求保留2位或3位有效數(shù)字，應(yīng)視具體要求而定。

不確定度

有效數(shù)字的末位是估讀數(shù)字，存在不確定性.一般情況下不確定度的有效數(shù)字只取一位，其數(shù)位即是測(cè)量結(jié)果的存疑數(shù)字的位置；有時(shí)不確定度需要取兩位數(shù)字，其最后一個(gè)數(shù)位才與測(cè)量結(jié)果的存疑數(shù)字的位置對(duì)應(yīng)。

由于有效數(shù)字的最后一位是不確定度所在的位置，因此有效數(shù)字在一定程度上反映了測(cè)量值的不確定度（或誤差限值）。測(cè)量值的有效數(shù)字位數(shù)越多，測(cè)量的相對(duì)不確定度越?。挥行?shù)字位數(shù)越少，相對(duì)不確定度就越大.可見，有效數(shù)字可以粗略反映測(cè)量結(jié)果的不確定度。

例子：d=（10.430±0.3）是不對(duì)的，只能寫成d=（10.4±0.3）

識(shí)別有效數(shù)字

簡(jiǎn)明規(guī)則

所有非零數(shù)字都是有效的1,2,3,4,5,6,7,8,9。

非零數(shù)字之間的零點(diǎn)數(shù)大于102,2005,50009。

前導(dǎo)零從不重要..0.02,1.0887,51.05。

在一個(gè)帶小數(shù)點(diǎn)的數(shù)字中，尾隨零（最后一個(gè)非零數(shù)字的右側(cè)）是重要的.2.02000,5,400,57.5400

在沒有小數(shù)點(diǎn)的數(shù)字中，尾隨零可能或可能不顯著。需要通過附加圖形符號(hào)或顯式錯(cuò)誤信息獲得更多信息，以澄清尾隨零的意義。

重要數(shù)字規(guī)則解釋

具體來說，編寫或解釋數(shù)字時(shí)識(shí)別有效數(shù)字的規(guī)則如下：

所有非零數(shù)字都被認(rèn)為是重要的。例如，91有兩個(gè)有效數(shù)字（9和1），而123.45有五個(gè)有效數(shù)字（1,2,3,4和5）。

出現(xiàn)在兩個(gè)非零數(shù)字之間的零點(diǎn)的零是很重要的。示例：101.1203有七個(gè)有效數(shù)字：1,0,1,1,2,0和3。

前導(dǎo)零并不重要。例如，0.00052有兩個(gè)有效數(shù)字：5和2。

包含小數(shù)點(diǎn)的數(shù)字中的尾隨零值很大。例如，12.2300有六個(gè)有效數(shù)字：1,2,2,3,0和0.數(shù)字0.000122300仍然只有六個(gè)有效數(shù)字（1之前的零不重要）。此外，120.00有五個(gè)有效數(shù)字，因?yàn)樗腥齻€(gè)尾隨零。這個(gè)慣例澄清了這些數(shù)字的精度;例如，如果將精確到四位小數(shù)位（0.0001）的測(cè)量值給出為12.23，那么可以理解，只有兩位精度小數(shù)位可用。將結(jié)果表示為12.2300，表明精確到四位小數(shù)（在這種情況下，六個(gè)有效數(shù)字）。

在不包含小數(shù)點(diǎn)的數(shù)字中，尾隨零的含義可能不明確。例如，如果一個(gè)1300號(hào)的數(shù)字對(duì)于最近的單位是精確的（并且恰巧巧合地是一百的確切倍數(shù)），或者如果由于四舍五入或不確定性僅顯示為最接近的百分點(diǎn)，則可能并不總是清楚的。存在許多解決這個(gè)問題的慣例：

有時(shí)也稱為超欄，或者不太準(zhǔn)確地說，一個(gè)vinculum可以放在最后一個(gè)有效數(shù)字上;跟隨此后的任何尾隨零都是微不足道的。例如，1300有三個(gè)有效數(shù)字（因此表明數(shù)字精確到最接近十）。

不常使用一個(gè)密切相關(guān)的公約，可以強(qiáng)調(diào)一個(gè)數(shù)字的最后一個(gè)重要數(shù)字;例如，“2000”有兩個(gè)重要的數(shù)字。

小數(shù)點(diǎn)后可放置數(shù)字;例如“100.”具體指出三個(gè)重要數(shù)字是指[3]

在數(shù)量和單位測(cè)量的組合中，可以通過選擇合適的單位前綴來避免歧義。例如，指定為1300克的質(zhì)量的有效數(shù)字是不明確的，而質(zhì)量為13?hg或1.3?kg則不是。

然而，這些約定并不是普遍使用的，并且通常需要從上下文中確定這樣的尾隨零是否意在是重要的。如果全部失敗，可以明確指定舍入級(jí)別。縮寫s.f.有時(shí)使用，例如“20?000?to?2?s.f.”或“20?000（2?sf）”?；蛘撸淮_定性可以單獨(dú)和明確地用正負(fù)號(hào)來表示，如20?000±1%，因此不重要的數(shù)字規(guī)則不適用。這也允許指定十次冪之間的精度（或編號(hào)系統(tǒng)的基本功率的任何值）。

科學(xué)計(jì)數(shù)法

在大多數(shù)情況下，同樣的規(guī)則適用于以科學(xué)計(jì)數(shù)表示的數(shù)字。但是，按照該符號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)化形式，不會(huì)出現(xiàn)占位符的前導(dǎo)和后置數(shù)字，因此所有數(shù)字都是重要的。例如，0.00012（兩個(gè)有效數(shù)字）變?yōu)?.2×10-4，0.00122300（六個(gè)有效數(shù)字）變?yōu)?.22300×10-3。特別地，消除了尾隨零的意義的潛在模糊性。例如，1300?4個(gè)有效數(shù)字為1.300×103，而1300?2個(gè)有效數(shù)字為1.3×103。

包含有效數(shù)字（與基數(shù)或指數(shù)相反）的表示部分稱為有效數(shù)或尾數(shù)。