杠桿又分成費力杠桿、省力杠桿和等臂杠桿，杠桿原理也稱為“杠桿平衡條件”。要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等。即：動力×動力臂=阻力×阻力臂，用代數(shù)式表示為F1·l1=F2·l2。式中，F(xiàn)1表示動力，l1表示動力臂，F(xiàn)2表示阻力，l2表示阻力臂。從上式可看出，要使杠桿達到平衡，動力臂是阻力臂的幾倍，阻力就是動力的幾倍。來源于《論平面圖形的平衡》。

原理提出

古希臘科學家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理。

戰(zhàn)國時代的墨子已經(jīng)對杠桿有所觀察，在《墨子·經(jīng)說下》中說“衡，加重于其一旁，必捶，權(quán)重相若也。相衡，則本短標長。兩加焉重相若，則標必下，標得權(quán)也”。這兩條對杠桿的平衡說得很全面。里面有等臂的，有不等臂的；有改變兩端重量使它偏動的，也有改變兩臂長度使它偏動的。

阿基米德有這樣一句流傳很久的名言：“給我一個支點，我就能撬起整個地球！”，這句話便是說杠桿原理。

阿基米德首先把杠桿實際應用中的一些經(jīng)驗知識當作“不證自明的公理”，然后從這些公理出發(fā)，運用幾何學通過嚴密的邏輯論證，得出了杠桿原理。

這些公理是：

（1）在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上相等的重量，它們將平衡；

（2）在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上不相等的重量，重的一端將下傾；

（3）在無重量的桿的兩端離支點不相等距離處掛上相等重量，距離遠的一端將下傾；

（4）一個重物的作用可以用幾個均勻分布的重物的作用來代替，只要重心的位置保持不變。相反，幾個均勻分布的重物可以用一個懸掛在它們的重心處的重物來代替

（5）相似圖形的重心以相似的方式分布……

正是從這些公理出發(fā)，在“重心”理論的基礎(chǔ)上，阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿原理，即“二重物平衡時，它們離支點的距離與重量成反比?！卑⒒椎聦Ω軛U的研究不僅僅停留在理論方面，而且據(jù)此原理還進行了一系列的發(fā)明創(chuàng)造。據(jù)說，他曾經(jīng)借助杠桿和滑輪組，使停放在沙灘上的船只順利下水，在保衛(wèi)敘拉古免受羅馬海軍襲擊的戰(zhàn)斗中，阿基米德利用杠桿原理制造了遠、近距離的投石器，利用它射出各種飛彈和巨石攻擊敵人，曾把羅馬人阻于敘拉古城外達3年之久。

概念分析

在使用杠桿時，為了省力，就應該用動力臂比阻力臂長的杠桿；如果想要省距離，就應該用動力臂比阻力臂短的杠桿。因此使用杠桿可以省力，也可以省距離。但是，要想省力，就必須多移動距離；要想少移動距離，就必須多費些力。要想又省力而又少移動距離，是不可能實現(xiàn)的。

杠桿的支點不一定要在中間，滿足下列三個點的系統(tǒng)，基本上就是杠桿：支點、施力點、受力點。

其中公式這樣寫：動力×動力臂=阻力×阻力臂，即F1×l1=F2×l2這樣就是一個杠桿。杠桿也有省力杠桿跟費力的杠桿，兩者皆有但是功能表現(xiàn)不同。例如有一種用腳踩的打氣機，或是用手壓的榨汁機，就是省力杠桿 - 動力臂>阻力臂）；但是我們要壓下較大的距離，受力端只有較小的動作。另外有一種費力的杠桿。例如路邊的吊車，釣東西的鉤子在整個桿的尖端，尾端是支點、中間是油壓機 - 力矩>力臂），這就是費力的杠桿，但費力換來的就是中間的施力點只要動小距離，尖端的掛勾就會移動相當大的距離。

兩種杠桿都有用處，只是要用的地方要去評估是要省力或是省下動作范圍。另外有種東西叫做輪軸，也可以當作是一種杠桿的應用，不過表現(xiàn)上可能有時要加上轉(zhuǎn)動的計算。

古希臘科學家阿基米德有這樣一句流傳千古的名言："假如給我一個支點，就能撬起地球"這句話不僅是催人奮進的警句，更是有著嚴格的科學根據(jù)的。

杠桿平衡

杠桿平衡是指杠桿在動力和阻力作用下處于靜止狀態(tài)下或者勻速轉(zhuǎn)動的狀態(tài)下。

杠桿受力有兩種情況：

1.杠桿上只有兩個力：

動力×支點到動力作用線的距離=阻力×支點到阻力作用線的距離

即動力×動力臂=阻力×阻力臂

即F1×l1=F2×l2

2.杠桿上有多個力：

所有使杠桿順時針轉(zhuǎn)動的力的大小與其對應力臂的乘積等于使杠桿逆時針轉(zhuǎn)動的力的大小與其對應力臂的乘積。

這也叫作杠桿的順逆原則，同樣適用于只有兩個力的情況。

杠桿分類

杠桿可分為省力杠桿、費力杠桿和等臂杠桿，沒有任何一種杠桿既省距離又省力

省力杠桿

l1>l2,F1<F2,省力、費距離。

如拔釘子用的羊角錘、鍘刀，開瓶器，軋刀，動滑輪，手推車剪鐵皮的剪刀及剪鋼筋用的剪刀等。

費力杠桿

l1<l2,F1>F2,費力、省距離。

如釣魚竿、鑷子，筷子，船槳裁縫用的剪刀理發(fā)師用的剪刀等。

等臂杠桿

l1=l2,F1=F2,既不省力也不費力，又不多移動距離，

如天平、定滑輪等。

人體杠桿

幾乎每一臺機器中都少不了杠桿，就是在人體中也有許許多多的杠桿在起作用。拿起一件東西，彎一下腰，甚至翹一下腳尖都是人體的杠桿在起作用，了解了人體的杠桿不僅可以增長物理知識，還能學會許多生理知識。

其中，大部分為費力杠桿，也有小部分是等臂和省力杠桿。

點一下頭或抬一下頭是靠杠桿的作用，杠桿的支點在脊柱之頂，支點前后各有肌肉，頭顱的重量是阻力。支點前后的肌肉配合起來，有的收縮有的拉長配合起來形成低頭仰頭，從圖里可以看出來低頭比仰頭要省力。

當曲肘把重物舉起來的時候，手臂也是一個杠桿。肘關(guān)節(jié)是支點，支點左右都有肌肉。這是一種費力杠桿，舉起一份的重量，肌肉要花費6倍以上的力氣，雖然費力，但是可以省一定距離。

當你把腳尖翹起來的時候，是腳跟后面的肌肉在起作用，腳尖是支點，體重落在兩者之間。這是一個省力杠桿，肌肉的拉力比體重要小。而且腳越長越省力。

如果你彎一下腰，肌肉就要付出接近1200牛頓的拉力。這是由于在腰部肌肉和脊骨之間形成的杠桿也是一個費力杠桿。所以在彎腰提起立物時，正確的姿式是盡量使重物離身體近一些。以避免肌肉被拉傷。

歷史故事

阿基米德將自己鎖在一間小屋里，正夜以繼日地埋頭寫作《浮體論》．這天突然闖進一個人來，一進門就連忙喊道：“哎呀！老先生原來您躲在這里．國王正調(diào)動大批人馬全城四處找你呢．'阿基米德認出他是朝廷的大臣，心想：外面一定出了大事．他立即收拾起羊皮書稿，伸手抓過一頂圓殼小帽，隨大臣一同出去，直奔王宮。

當他們來到宮殿前階下時，就看見各種馬車停了一片，衛(wèi)兵們銀槍鐵盔，站立兩行，殿內(nèi)文武滿座，鴉雀無聲。國王正焦急地在地毯上來回踱步。由于殿內(nèi)陰暗，天還沒黑就燃起了高高的燭臺。燈下長條案上擺著海防圖、陸防圖。阿基米德看到這一切就知道！他最擔心的戰(zhàn)爭終于爆發(fā)了。

原來地中海沿岸在古希臘衰落之后，先是馬其頓王朝的興起，馬其頓王朝衰落后，接著是羅馬王朝興起。羅馬人統(tǒng)一了意大利本土后向西擴張，遇到另一強國迦太基．公元前264年到公元前241年兩國打了23年仗，這是歷史上有名的“第一次布匿戰(zhàn)爭”，羅馬人取得勝利。公元前218年開始又打了4年，這是“第二次布匿戰(zhàn)爭”，這次迦太基起用一個奴隸出身的軍事家漢尼拔,一舉擒獲羅馬人5萬余眾。地中海沿岸的兩個強國就這樣連年爭戰(zhàn)，雙方均有勝負。

敘拉古，則是個夾在迦、羅兩個強國中的城邦小國，在這種長期的戰(zhàn)爭風云中，常常隨著兩個強國的勝負而棄弱附強，飄忽不定。阿基米德對這種外交策略很不放心，曾多次告誡國王，不要惹禍上身?？墒乾F(xiàn)在的國王已不是那個阿基米德的好友亥尼洛。他年少無知，卻又剛愎自用。當“第二次布匿戰(zhàn)爭”爆發(fā)后，公元前216年，眼看迦太基人將要打敗羅馬人，國王很快就和羅馬人決裂了，與迦太基人結(jié)成了同盟，羅馬人對此舉很惱火。

現(xiàn)在羅馬人又打了勝仗，于是采取了報復的行動，從海陸兩路向這個城邦小國攻過來，國王嚇得沒了主意。當他看到阿基米德從外面進來，連忙迎上前去，恨不得立即向他下跪，說道：“啊，親愛的阿基米德，你是一個最聰明的人，先王在世時說過你都能推動地球?！?/p>

關(guān)于阿基米德推動地球的說法，卻還是他在亞歷山大里亞留學時候的事。當時他從埃及農(nóng)民提水用的吊桿和奴隸們撬石頭用的撬棍受到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)可以借助一種杠桿來達到省力的目的，而且發(fā)現(xiàn)，手握的地方到支點的這一段距離越長，就越省力氣。由此他提出了這樣一個定理：力臂和力（重量）的關(guān)系成反比例。這就是杠桿原理。

用我們現(xiàn)在的表達方式表述就是：動力×動力臂=阻力×阻力臂。為此，他曾給當時的國王亥尼洛寫信說：`我不費吹灰之力，就可以隨便移動任何重量的東西；只要給我一個支點，給我一根足夠長的杠桿，我連地球都可以推動．'可現(xiàn)在這個小國王并不懂得什么叫科學，他只知道在大難臨頭的時候，借助阿基米德的神力來救他的駕。

可是羅馬軍隊實在太厲害了．他們作戰(zhàn)時列成方隊，前面和兩側(cè)的士兵將盾牌護著身子，中間的士兵將盾牌舉在頭上，戰(zhàn)鼓一響這一個個方隊就如同現(xiàn)代的坦克一樣，向敵方陣營步步推進，任你亂箭射來也絲毫無損。羅馬軍隊還有特別嚴明的軍紀，發(fā)現(xiàn)臨陣脫逃的立即處死，士兵立功晉級，統(tǒng)帥獲勝返回羅馬時要舉行隆重的凱旋儀式。

這支軍隊稱霸地中海,所向無敵，一個小小的敘拉古哪里放在眼里。況且舊恨新仇，早想進行一次徹底清算。這時由羅馬執(zhí)政官馬賽拉斯統(tǒng)帥的四個陸軍軍團已經(jīng)挺進到了敘拉古城的西北?，F(xiàn)在城外已是鼓聲齊鳴，殺聲震天了。在這危急的關(guān)頭，阿基米德雖然對因國王目光短淺造成的這場禍災非常不滿，但木已成舟，國家為重，他掃了一眼沉悶的大殿，捻著銀白的胡須說：“如果單靠軍事實力，我們決不是羅馬人的對手?，F(xiàn)在若能造出一種新式武器來，或許還可守住城池，以待援兵?！眹跻宦犨@話，立即轉(zhuǎn)憂為喜說：“先王在世時早就說過，凡是你說的，大家都要相信．這場守衛(wèi)戰(zhàn)就由你全權(quán)指揮吧?！?/p>

兩天以后，天剛拂曉，羅馬統(tǒng)帥馬賽拉斯指揮著他那嚴密整齊的方陣向護城河攻來。今天方陣兩邊還預備了鐵甲騎兵，方陣內(nèi)強壯的士兵肩扛著云梯。馬賽拉斯在出發(fā)前曾口出狂言：“攻破敘拉古，到城里吃午飯去?！痹诤皻⒙曋?，方陣慢慢向前蠕動。照常規(guī)，城頭上早該放箭了?？山裉斐菈ι蠀s是靜悄悄地不見一人．也許是幾天來的惡戰(zhàn)使敘拉古人筋疲力盡了吧。

羅馬人正在疑惑，城里隱約傳來吱吱呀呀的響聲，接著城頭上就飛出大大小小的石塊，開始時大小如碗如拳一般，以后越來越大，簡直有如鍋盆，山洪般地傾瀉下來。石頭落在敵人陣中，士兵們連忙舉盾護體，誰知石頭又重，速度又急，一下子連盾帶人都砸成一團肉泥。羅馬人漸漸支持不住了，連滾帶爬地逃命。這時敘拉古的城頭又射出了密集的利箭，羅馬人的背后無盾牌和鐵甲抵擋，那利箭直穿背股，哭天喊地，好不凄慘。

阿基米德到底造出了什么秘密武器讓羅馬人大敗而歸呢?原來他制造了一些特大的弩弓——發(fā)石機．這么大的弓，人是根本拉不動的，他就利用了杠桿原理．只要將弩上轉(zhuǎn)軸的搖柄用力扳動，那與搖柄相連的牛筋又拉緊許多根牛筋組成的粗弓弦，拉到最緊時，再突然一放，弓弦就帶動載石裝置，把石頭高高地拋出城外，可落在1000多米遠的地方。原來這杠桿原理并不是簡單使用一根直棍撬東西。比如水井上的轆轤吧，它的支點是轆轤的軸心，重臂是轆轤的半徑，它的力臂是搖柄，搖柄一定要比轆轤的半徑長，打起水來就很省力。阿基米德的發(fā)石機也是運用這個原理．羅馬人哪里知道敘拉古城有這許多新玩意兒。

就在馬賽拉斯剛被打敗不久，海軍統(tǒng)帥古勞狄烏斯也派人送來了戰(zhàn)報。原來，當陸軍從西北攻城時，羅馬海軍從東南海面上也發(fā)動了攻勢。羅馬海軍原來并不十分厲害，后來發(fā)明了一種舷鉤裝在船上，遇到敵艦時鉤住對方，士兵們再躍上敵艦，變海戰(zhàn)為陸戰(zhàn)，占一定的優(yōu)勢。今天克勞狄烏斯為了對付敘拉古還特意將兵艦包上了一層鐵甲，準備了云梯，并號令士兵，只許前進，不許后退。

奇怪的是，這天敘拉古的城頭卻分外安靜，墻的后面看不到一卒一兵，只是遠遠望見幾副木頭架子立在城頭。當羅馬戰(zhàn)船開到城下,士兵們拿著云梯正要往墻上搭的時候，突然那些木架上垂下來一條條鐵鏈，鏈頭上有鐵鉤、鐵爪，鉤住了羅馬海軍的戰(zhàn)船。任水兵們怎樣使勁劃槳都徒勞無功，那戰(zhàn)船再也不能挪動半步．他們用刀砍，用火燒，大鐵鏈分毫無損。正當船上一片驚慌時．只見大木架上的木輪又`嘎嘎'地轉(zhuǎn)動起來，接著鐵鏈越拉越緊，船漸漸地被吊起離開了水面。隨著船身的傾斜，士兵們紛紛掉進了海里，桅桿也被折斷了。

船身被吊到半空后，這個大木架還會左右轉(zhuǎn)動，于是那一艘艘戰(zhàn)艦就像蕩秋千一樣在空中搖蕩，然后有的被摔到城墻上或礁石上，成了堆碎片；有的被吊過城墻，成了敘拉古人的戰(zhàn)利品。這時敘拉古的城頭上還是靜悄悄的，沒有人射箭，也沒有人吶喊，好像是座空城，只有那幾副怪物似的木架，不時伸下一個個大鉤鉤走一艘艘戰(zhàn)船。羅馬人看著這`嘎嘎'作響的怪物，嚇得全身哆嗦，手腿發(fā)軟，只聽到海面上一片哭喊聲和落水碰石后的呼救聲?？藙诘覟跛乖趹?zhàn)報中說：“我們根本看不見敵人，就像在和一只木桶打仗。”阿基米德的這些"怪物"原來也是利用了杠桿原理，并加了滑輪。

舉起地球

“給我一個支點，我就能撬起地球！”，這是古代發(fā)現(xiàn)杠桿原理的阿基米德說的話。

阿基米德知道，如果利用杠桿，就能用一個最小的力，把無論多么重的東西舉起來，只要把這個力放在杠桿的長臂上，而讓短臂對重物起作用。

然而如果這個古代偉大科學家知道地球的質(zhì)量是這么大，他也許就不會這樣夸口了。讓我們設(shè)想阿基米德真的找到了另一個地球做支點；再設(shè)想他也做成了一根夠長的杠桿。你知道他得用多少時間才能把質(zhì)量等于地球的一個重物舉起，哪怕只舉起1cm呢？至少要30萬億年！

地球的質(zhì)量天文學家是知道這樣大的物體，如果把它拿到地球上稱的話，它的質(zhì)量大約是：kg

如果一個人只能直接舉起60kg的重物，那么他要“舉起地球”，就得把自己的手放在一根這樣長的杠桿上，他的長臂應當?shù)扔谒亩瘫鄣谋丁?/p>

簡單地計算一下就可以知道，在短臂的那一頭舉高1cm，就得把長臂那一頭在宇宙空間里畫一個大弧形，弧的長度大約是：m

這就是說，阿基米德如果要把地球舉起1cm，他那扶著杠桿的手就得移動大到這樣不可想象的一個距離！那么他要用多少時間才能做完這件事呢？如果我們認為阿基米德能在一秒中里把60kg的重物舉高一米（這種工作能力已經(jīng)幾乎等于一馬力?。?，那么，他要把地球舉起1cm，就得用去秒，約為三萬億年！可見阿基米德無法完成這個任務。

關(guān)于撬起地球還有另一種解讀，阿基米德說的是撬起地球，而不是說撬起地球1cm。他在長杠桿的另一頭，只需要撬動1m，相應的地球也會移動m，地球移動的距離可能很短很短，但是不管如何，地球還是動了。

杠桿定律

在簡單的二元系相圖中。恒溫連接線和液相線固相線有兩個焦點。處在連接線上任一點所代表的體系狀態(tài)都會發(fā)生兩相平衡。體系成分固定后，AB兩項成分分別是xbA和xbB

根據(jù)質(zhì)量守恒。該溫度平衡的AB兩項的相對量。

AA（wA）= - xbB-xb/ - xbB-xbA

AB - wB= - xb-xbB/ - xbB-xbA

注意：杠桿定律是由于質(zhì)量守恒推導出來的，不一定平衡才滿足。無論系統(tǒng)是否平衡都應該滿足杠桿原理。